Valor Esperado e Crescimento: Entenda Apostar sem Quebrar

Quando se trata de apostas ou investimentos esportivos, seja como queira dizer, sua primeira preocupação é o quanto você pode ganhar, e a outra deveria ser como suas ações afetam seu bankroll. Essas questões são respondidas por dois conceitos distintos: o valor esperado (expected value, ou EV) e o crescimento esperado (expected growth). Embora pareçam semelhantes, suas diferenças são cruciais para entender o gerenciamento de risco e o critério de Kelly, uma estratégia matemática para otimizar apostas.

O que é Valor Esperado?

O valor esperado é uma média teórica do que você ganharia (ou perderia) se pudesse repetir uma aposta muitas vezes sob condições idênticas. Pense em um exemplo simples: você aposta R$1 em um jogo com 60% de chance de vitória e odds de 2,00 ou 1:1 (se vencer, ganha R$1). O cálculo é:

• Ganha R$1 em 60% dos casos = R$0,60.
• Perde R$1 em 40% dos casos = -R$0,40.
• EV = R$0,60 – R$0,40 = R$0,20 por aposta.

Isso significa que, em média, você lucraria R$0,20 por aposta se pudesse repeti-la infinitamente. O EV é positivo, o que sugere uma aposta vantajosa. Matematicamente, para uma aposta de tamanho (X) (fração do seu capital), probabilidade de vitória (p) e odds decimais (O), o EV é:

• EV = (p \times (O - 1) \times X) - ((1 - p) \times X) = (pO - 1) \times X.

O EV é útil para comparar apostas: quanto maior o EV, mais atraente ela parece. Mas há um problema: ele nao considera o risco de perder tudo ou o impacto que seu bankroll terá. Aposto que você já viu muito influencer simplesmente dizer que aposta naquilo porque tem valor. Eles não calculam o impacto daquilo no seu bankroll, certo? Então, é aí que o crescimento esperado entra em cena.

O que é Crescimento Esperado?

Diferente do EV, o crescimento esperado foca no efeito típico ou sustentável de uma aposta no seu bankroll. Ele reflete o que acontece com seu capital ao longo do tempo, levando em conta o tamanho da aposta em relação ao total disponível. A fórmula para o crescimento esperado, dado um bankroll inicial B_0, é:

• B^* = B_0 \times (1 + (O - 1) \times X)^p \times (1 - X)^{(1-p)},
• E(G) = (1 + (O - 1) \times X)^p \times (1 - X)^{(1-p)} - 1, onde B^* é o bankroll esperado e (E(G)) é o crescimento percentual.

Essa abordagem considera que ganhos aumentam seu capital proporcionalmente, enquanto perdas o reduzem, e o impacto é mais severo quanto maior for a aposta. Por exemplo, perder 50% do bankroll exige um ganho de 100% para recuperar – uma assimetria que o EV ignora.

Por que EV e crescimento divergem?

Imagine uma aposta extrema: você tem R$10.000 e aposta tudo em algo com chance quase nula de vencer (digamos, 0,1%), mas com odds absurdas que paga bilhões. O EV pode ser positivo, mas na prática você quase certamente perde tudo. O crescimento esperado, nesse caso, seria -100%, porque seu bankroll encolheria a zero na imensa maioria dos cenários. O EV é inflado por resultados raros e extremos, enquanto o crescimento reflete o resultado mais provável.

Agora, considere um caso mais realista:

• Bankroll = R$100.000.
• Aposta = 1% (R$1.000), com 50% de chance de vencer e odds de 3,00 ou 2:1 (paga R$2.000 se vencer).
• Após duas apostas, o EV é R$1.002,50 (1,0025%), mas o crescimento esperado é R$980 (0,98%). O EV supera o crescimento porque inclui a possibilidade de ganhos maiores, mas raros.

Se aumentar a aposta para 25% (R$25.000) em uma aposta com 54% de chance de vencer e odds de 1,900 (paga R$0,909 por R$1 apostado):

• EV = 0,7727% do bankroll.
• Crescimento = -2,151% (encolhimento).

Aqui, o EV ainda é positivo, mas o crescimento é negativo porque apostar muito, mesmo em uma boa aposta, pode levar todo seu dinheiro.

Aposta total: o limite extremo

Se você aposta 100% do bankroll, o crescimento esperado é -100% (perda total), a menos que a vitória seja certa (p = 1) e as odds” infinitas” (O = ∞). Mesmo com um EV positivo, arriscar tudo é uma receita para falência. Isso mostra que o EV sozinho não basta para decisões práticas porque não protege contra o risco de perder tudo.

Lições e ocaminho para o Critério de Kelly

1. EV positivo não é suficiente: Uma aposta pode ser lucrativa em teoria, mas arriscada na prática.
2. Tamanho da aposta importa: Apostar uma fração do bankroll é mais seguro e sustentável.
3. Crescimento é o foco de longo prazo: Maximizar o crescimento esperado, e não o EV, é o objetivo para quem quer prosperar sem quebrar.

O Kelly sugere o tamanho ideal da aposta – uma fração do bankroll proporcional à sua vantagem (edge) e à probabilidade de vitória que busca maximizar o crescimento esperado enquanto minimiza o risco de perder tudo. Em essência, é uma ponte entre a teoria do EV e a prática do gerenciamento de capital.

Maximizando o crescimento com o Critério de Kelly

Como você viu, falamos que o crescimento esperado oferece uma perspectiva mais prática do que o valor esperado (EV) para avaliar apostas, considerando o impacto no bankroll a longo prazo. Agora vamos falar do critério de Kelly de, como usar o conceito de crescimento esperado para determinar o tamanho ideal de uma aposta. Essa abordagem busca maximizar o crescimento do capital enquanto evita o risco de ruína, equilibrando ousadia e prudência.

Os extremos do risco (sem utilizar apostas como exemplo)

Imagine Pedro, um pequeno comerciante que decidiu investir em um lote de produtos promocionais para revender. Ele descobriu uma oportunidade com potencial de lucro: comprar um estoque por R$ 20.000 com 70% de chance de vender tudo por R$ 30.000. Confiante na vantagem estatística, Pedro apostou todo o capital que tinha reservado para o semestre. Porém, a demanda caiu inesperadamente, e ele perdeu tudo, tendo que recorrer a empréstimos para manter a loja aberta. Enquanto isso, seu concorrente, Luiz, investiu R$ 20.000 em um produto com menor probabilidade de sucesso (40% de chance de lucro), mas tinha reservas suficientes para absorver o prejuízo sem se abalar. Quem foi mais imprudente? Pedro, por arriscar todo o seu capital em uma única jogada, ou Luiz, por investir sem uma vantagem clara?

Essa situação destaca uma lição essencial: mesmo com uma oportunidade de lucro em teoria (EV positivo), o tamanho do investimento pode levar à ruína se não considerar o crescimento sustentável do capital. Arriscar tudo, como Pedro fez, resulta em colapso com um único revés, apesar da probabilidade favorável. Por outro lado, evitar qualquer risco, como um amigo de Pedro que guardava o dinheiro no colchão, elimina a chance de crescimento. O critério de Kelly aparece como a solução ideal por ser uma estratégia para investir o bastante para lucrar, mas com cautela suficiente para evitar a falência.

O que é o Critério de Kelly?

O objetivo do Kelly é simples: maximizar o crescimento esperado do bankroll. Lembre-se da fórmula da Parte I:

• E(G) = (1 + (O - 1) \times X)^p \times (1 - X)^{(1 - p)} - 1, onde (X) é a fração do bankroll apostada, (O) é a odd decimal, e (p) é a probabilidade de vitória.

A “estaca Kelly” (Kelly Stake) é o valor de (X) que maximiza essa equação. Usando cálculo (detalhes omitidos no texto, mas derivados da otimização), chega-se à fórmula:

• Kelly\ Stake = \frac{Edge}{Odds - 1}, para Edge \geq 0, ou, em termos de probabilidade:
• Kelly\ Stake = \frac{p \times O - 1}{O - 1}, para p \times O \geq 1.

Aqui, Edge é a vantagem (em decimal,

Edge = p \times O - 1), ou seja, o quanto você espera ganhar por unidade apostada acima do equilíbrio. Se o Edge for negativo, a aposta ideal é zero.

Exemplos práticos

1. Odds @ 2,00, Edge 5%:
   • Kelly\ Stake = \frac{5\%}{2 - 1} = 5\%.
   • Para um bankroll de R$10.000, aposta-se R$500.
2. Odds @ 1,900, p = 55%:
   • Kelly\ Stake = \frac{55\% \times 1.909 - 1}{1.909 - 1} = \frac{1.05 - 1}{0.909} \approx 5.5\%.
   • Aposta = R$550 em R$10.000.
3. Odds @ 4,500, p = 25%:
   • Kelly\ Stake = \frac{25\% \times 4.5 - 1}{4.5 - 1} = \frac{1.125 - 1}{3.5} \approx 3.57\%.
   • Aposta ≈ R$357.
4. Odds @ 1,400, p = 70%:
   • Edge = 70\% \times 1.4 - 1 = 0.98 - 1 = -2\%.
   • Como o Edge é negativo, aposta-se R$0.

Padrões e Intuições

• Odds pares (como 2,00): O Kelly Stake iguala o Edge. Ex.: Edge de 5% → aposta 5%.
• Favoritos (odds curtas, ex.: @ 1,500): O Kelly Stake é maior que o Edge (ex.: K = 2 \times Edge), pois o risco de perda é menor.
• Azarões (odds longas, ex.: @ 3,00): O Kelly Stake é menor que o Edge (ex.: K = \frac{Edge}{2}), pois a volatilidade é alta.

Isso reflete um princípio: para um Edge fixo, o Kelly recomenda apostar mais em favoritos (odds curtas) e menos em azarões (odds longas), ajustando o risco à probabilidade de perda.

Kelly x EV: uma escolha estratégica

Maximizar o EV exigiria apostar tudo em cada oportunidade com EV positivo, mas isso leva à ruína, como vimos com Pedro. O Critério de Kelly, por outro lado, prioriza o crescimento sustentável. Veja este exemplo comparativo:

• Edge 5%, odds @ 1,500: Kelly Stake = 10%. Após 100 apostas, o retorno esperado é 64,7%, com 36,7% de chance de não lucrar.
• Edge 5%, odds @ 5.00, aposta 10%: Mesmo retorno esperado (64,7%), mas 73,5% de chance de não lucrar e 55,8% de perder 2/3 do bankroll.

A aposta em odds grandes de 5,00 por exemplo, tem maior risco de perda, apesar do mesmo EV. O Kelly reduz a aposta em azarões para proteger o bankroll, minimizando a probabilidade de perdas que limitariam futuras oportunidades.

Uma revelação surpreendente

O Kelly também pode preferir apostas com menor Edge, mas odds mais curtas:

• Odds @ 1,50, Edge 4%: Kelly Stake = 8%, crescimento esperado ≈ 0,1624%.
• Odds @ 5,00, Edge 10%: Kelly Stake = 2,5%, crescimento esperado ≈ 0,1221%.

Apesar do Edge maior (@ 5,00), o crescimento é menor devido à volatilidade. Isso desafia a intuição de que azarões são sempre mais lucrativos – para o Kelly, a estabilidade dos favoritos é mais valiosa.

Conclusão

O critério de Kelly oferece uma metodologia precisa para dimensionar apostas, maximizando o crescimento do bankroll sem arriscar tudo. Ele não busca o maior EV possível, mas o equilíbrio entre ganho e sobrevivência. Curiosamente, ele favorece apostas em favoritos para um dado Edge, um insight que pode surpreender apostadores experientes.